歡迎來到動態的 向量值函數。與過去靜態方程不同，向量函數使我們能夠描述移動點在空間中的軌跡。想像一個粒子穿行於虛空之中；其在任意時刻 $t$ 的位置由一個從原點出發、指向三維空間中某個位置的向量定義。
空間曲線的定義
當我們將一個實數參數 $t$ 映射到三個獨立的分量函數時，我們定義了一個 空間曲線 $C$。
所有空間中的點 $(x, y, z)$ 所構成的集合 $C$，其中： $$x = f(t) \quad y = g(t) \quad z = h(t)$$ 且 $t$ 在區間 $I$ 內變化，稱為 空間曲線。
或使用向量表示法： $$\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$$ 其中，$\mathbf{r}(t)$ 是時間 $t$ 時移動粒子的 位置向量 位置向量。
關鍵幾何原型
- 螺旋線： 一條沿著圓柱體向上螺旋的曲線（通常為 $x^2 + y^2 = a^2$）。這正是彈簧與DNA雙螺旋的基本幾何形狀。
- 扭曲三次曲線： 一種典型的非平面曲線，可視為兩個圓柱體的交集：$y = x^2$ 和 $z = x^3$。它同時在三個維度上扭曲變形。
來自實際應用的例子
描述由 $\mathbf{r}(t) = \langle 1 + t, 2 + 5t, -1 + 6t \rangle$ 定義的曲線。
分析： 這是直線的參數方程。它經過點 $(1, 2, -1)$，並沿方向向量 $\mathbf{v} = \langle 1, 5, 6 \rangle$ 前進。
繪製曲線 $\mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + t \mathbf{k}$。
分析： 分量 $x = \cos t$ 與 $y = \sin t$ 滿足 $x^2 + y^2 = 1$，意味著該曲線保持在一個圓柱面上。隨著 $t$ 增大，$z=t$ 將點向上拉，形成螺旋。
利用電腦來視覺化 $\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle$。
分析： 此曲線之所以「扭曲」，是因為它是拋物柱面 $y = x^2$ 與三次柱面 $z = x^3$ 的交集。這是一個不位於同一平面的曲線的典型範例。